Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AB上，⊙O经过点A，且与BC相切于点D
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BD=5，CD=3，求AD的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OD，由BC为圆O的切线，得到OD垂直于BC，再由AC垂直于BC，得到OD与AC平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到AD为角平分线；
（2）作ED⊥AB于E，根据角平分线的性质求得DE=DC=3，在直角三角形BDE中，利用勾股定理求出BE的长，然后证得△ABC∽△DBE，求得AB=10，进而得出AE=6，然后再根据勾股定理即可求得AD的长．

解答： （1）证明：如图，连接OD，
∵BC为圆O的切线，
∴OD⊥CB，
∵AC⊥CB，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠OAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：作ED⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DC=3，
在Rt△BDE中，BD=5，DE=3，
根据勾股定理得：BE=4，
∵∠ABC=∠DBE，∠C=∠BED=90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴

AB

BD

=

BC

BE

，即

AB

5

=

5+3

4

，
∴AB=10，
∴AE=AB-BE=10-4=6，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+DE2

=

62+32

=3

5

．

点评：此题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键