Question

如图所示：在直角坐标系中，四边形OABC为矩形，B点的坐标（3，6），若点P从点O沿OA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从点A沿AB以每秒2个单位长度的速度运动，如果P、Q分别从O、A同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，假设运动的时间为t秒，请解答下列问题：
（1）如图1所示：用含有t的代数式表示△PAQ的面积；
（2）如图1所示：当t为何值时，线段PQ的长度为2

2

？
（3）如图2所示：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何动点问题

分析：（1）根据题意可得AP=3-t，AQ=2t，根据三角形面积公式即可求解；
（2）根据勾股定理得到关于t的方程，解方程即可求解；
（3）根据勾股定理得到PC，PQ，QC，再分PC=PQ，PC=QC，PQ=QC三种情况讨论可求解．

解答：解：（1）根据题意可得AP=3-t，AQ=2t，
则△PAQ的面积（3-t）×2t÷2=t（3-t）；

（2）根据题意可得

(3-t)2+(2t)2

=2

2

，
解得t₁=1，t₂=0.2，
故当t为1或0.2时，线段PQ的长度为2

2

；

（3）由勾股定理可得PC=

t2+36

，PQ=

(3-t)2+(2t)2

，CQ=

(6-2t)2+9

，
当PC=PQ时，

t2+36

=

(3-t)2+(2t)2

，解得t=

3±3 13

4

（不合题意舍去）；
当PC=QC时，

t2+36

=

(6-2t)2+9

，解得t=4±

13

，其中t=4+

13

不合题意舍去；
当PQ=QC时，

(3-t)2+(2t)2

=

(6-2t)2+9

，解得t=-9±3

13

，其中t=-9-3

13

不合题意舍去．
故当t为4-

13

或-9+3

13

，时，△PCQ为等腰三角形．

点评：考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，勾股定理，以及分类思想的运用．