Question

16．如图，在反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x≥0）的图象上，有点P₁，P₂，P₃，P₄，…，P_n（n为正整数，且n≥1），它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n（n为正整数，且n≥1）．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，连接相邻两点，图中所构成的阴影部分（近似看成三角形）的面积从左到右依次为S₁，S₂，S₃，…，S_n-1（n为正整数，且n≥2），那么S₁+S₂+S₃+S₄+S₅=$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 求出P₁、P₂、P₃、P₄…的纵坐标，从而可计算出S₁、S₂、S₃、S₄…的高，进而求出S₁、S₂、S₃、S₄…，从而得出S₁+S₂+S₃+S₄+S₅的值．

解答 解：当x=1时，P₁的纵坐标为4，
当x=2时，P₂的纵坐标为2，
当x=3时，P₃的纵坐标为$\frac{4}{3}$，
当x=4时，P₄的纵坐标为1，
当x=5时，P₅的纵坐标为$\frac{4}{5}$
…
则S₁=$\frac{1}{2}$×1×（4-2）=1=2-1；
S₂=$\frac{1}{2}$×1×（2-$\frac{4}{3}$）=$\frac{1}{3}$=1-$\frac{2}{3}$；
S₃=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{4}{3}$-1）=$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{4}$；
∴S₁+S₂+S₃=2-1+1-$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{4}$=2-$\frac{2}{4}$=$\frac{3}{2}$；
S₄=$\frac{1}{2}$×1×（1-$\frac{4}{5}$）=$\frac{1}{10}$=$\frac{2}{4}$-$\frac{2}{5}$；
…
S₅=$\frac{2}{5-1}$-$\frac{2}{5}$；
∴S₁+S₂+S₃+S₄+S₅
=2-1+1-$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{4}$+$\frac{2}{4}$-$\frac{2}{5}$=2-$\frac{2}{5}=\frac{8}{5}$．
故答案为$\frac{8}{5}$．

点评 此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求出个阴影的面积表达式是解题的关键．