Question

7．当m，n是实数且满足m-n=mn时，就称点Q（m，$\frac{m}{n}}$）为“奇异点”，已知点A、点B是“奇异点”且都在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，点O是平面直角坐标系原点，则△OAB的面积为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 设A（a，$\frac{a}{b}$），利用新定义得到a-b=ab，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到a•$\frac{a}{b}$=2，a-$\frac{{a}^{2}}{2}$=a³，则可解得a和b的值，所以A（-2，-1），B（1，2），接着利用待定系数法求出直线AB的解析式．从而得到直线AB与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式计算△OAB的面积．

解答 解：设A（a，$\frac{a}{b}$），
∵点A是“奇异点”，
∴a-b=ab，
∵a•$\frac{a}{b}$=2，则b=$\frac{{a}^{2}}{2}$，
∴a-$\frac{{a}^{2}}{2}$=a³，
而a≠0，整理得a²+a-2=0，解得a₁=-2，a₂=1，
当a=-2时，b=2；当a=1时，b=$\frac{1}{2}$，
∴A（-2，-1），B（1，2），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A（-2，-1），B（1，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=-1}\\{m+n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，1），
∴△OAB的面积=$\frac{1}{2}$×1×（2+1）=$\frac{3}{2}$．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不变．