Question

19．如图，已知△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AP平分∠BAC，BE=AF．
（1）线段PE、PF有什么关系，并说明理由．
（2）当∠EPF在△ABC内绕顶点旋转时（点E不与A，B重合），四边形AEPF的面积是否不变？若不变，求出不变的面积的值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质可得∠PAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，P为BC中点，AP⊥BC，然后再证明△BEP≌△AFP，进而可得∠EPB=∠APF，从而可证明PE⊥PF；
（2）根据（1）可得△BEP≌△AFP，根据三角形的面积关系可得S_{四边形EAFP}=S_△ABP，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得答案．

解答 解：（1）PE⊥PF，
∵AB=AC，AP平分∠BAC，
∴∠PAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，P为BC中点，AP⊥BC，
∴AP=BP=$\frac{1}{2}$BC，
∵AB=AC=4，∠BAC=90°，
∴∠B=45°，
在△BEP和△AFP中$\left\{\begin{array}{l}{AP=BP}\\{∠B=∠PAF}\\{BE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BEP≌△AFP（SAS），
∴∠EPB=∠APF，
∴∠EPF=∠BPE+∠EAP=∠APF+∠APE=90°，
∴EP⊥PF．

（2）四边形AEPF的面积不变，
连接AP，由（1）得△BEP≌△AFP，
∴S_{四边形EAFP}=S_△AEP+S_△APF=S_△AEP+S_△BEP=S_△ABP，
∵AB=AC，AP平分∠BAC，
∴AP为△ABC的中线，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×AC×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×4=4，
∴四边形AEPF的面积是4．

点评 此题主要考查了图形的旋转，以及全等三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质，以及全等三角形的判定方法．