题目内容

已知：正方形ABCD的边长为 $数学公式$ 厘米，对角线AC上的两个动点E，F．点E从点A，点F从点C同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角边于H，过F作FG⊥AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG，EB．设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S₁，AE，EB，BA围成的图形面积为S₂（这里规定：线段的面积为0）E到达C，F到达A停止．若E的运动时间为x秒，解答下列问题：
（1）如图，判断四边形EFGH是什么四边形，并证明；
（2）当0＜x＜8时，求x为何值时，S₁=S₂；
（3）若y是S₁与S₂的和，试用x的代数式表示y．（如图为备用图）

解：（1）四边形EFGH是矩形．理由如下：
∵点E从点A，点F从点C同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，
∴AE=CF．
∵EH⊥AC，FG⊥AC，
∴EH∥FG．
∵ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠D=90°，∠GCF=∠HAE=45°，
又∵EH⊥AC，FG⊥AC，
∴∠CGF=∠AHE=45°，
∴∠GCF=∠CGF，∠HAE=∠AHE，
∴AE=EH，CF=FG，∴EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵EH⊥AC
∴平行四边形EFGH是矩形；

（2）∵正方形边长为 $\text{[math]}$ ，∴AC=16．
∵AE=x，连接BD交AC于O，则BO⊥AC且BO=8，
∴S₂= $\text{[math]}$ •AE•BO=4x．
∵CF=GF=AE=x，∴EF=16-2x，
∴S₁=EF•GF=x（16-2x）．
当S₁=S₂时，x（16-2x）=4x，
解得x₁=0（舍去），x₂=6．
∴当x=6时，S₁=S₂；

（3）①当0≤x＜8时，y=x（16-2x）+4x=-2x²+20x．
②当8≤x≤16时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2（16-x）=2x-16．
∴S₁=（16-x）（2x-16）．
∴y=（16-x）（2x-16）+4x=-2x²+52x-256．
综上，可知y= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）首先根据动点E、F的运动速度与运动时间均相同得出AE=CF，再由正方形的性质及已知EH⊥AC，FG⊥AC得出△CGF与△AHE都是等腰直角三角形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出结论；
（2）首先由勾股定理求出正方形ABCD的对角线长为16．再连接BD交AC于O，则BO=8．然后用含x的代数式分别表示S₁，S₂，当S₁=S₂时得出关于x的方程，解方程即可；
（3）因为当x=8时，点E与点F重合，此时S₁=0，y=S₂．故应分0≤x＜8与8≤x≤16两种情况讨论．
点评：本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，难度中等．