题目内容
【题目】已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADC=90°，CD=2，(点A、B分别在直线CD的左右两侧)，射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD=x，CE=y.
(1)求证：∠DAB=∠DCF.
(2)当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.
(3)如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)
；(3)AD=1或
.
【解析】
（1）首先根据点G是Rt△ABC的重心，得出CF是Rt△ABC的中线.，又由AC=BC，∠ACB=90°，得出CF⊥AB，即∠AFC=90°，然后等量转换即可得出∠DAB=∠DCF；
（2）首先判定△CAD≌△BCH，得出BH = CD，CH = AD，又根据∠ADC=∠BHC=90°，得出AD∥BH，进而得出
，列出等式，即可得出y关于x的函数关系式；
（3）分两种情况进行求解：①当GC=GD时，根据直角三角形斜边中线定理得出MD=MC，进而得出MG⊥CD，且直线MG经过点B，那么BH与MG共线，即可得出AD；②当CG=CD时，CG=2，点G为△ABC的重心，然后运用勾股定理即可得出AD.
(1)证明：∵点G是Rt△ABC的重心，
∴CF是Rt△ABC的中线.
又∵在Rt△ABC，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CF⊥AB，即∠AFC=90°.
∵∠DEF=∠ADE+∠DAE=∠EFC+∠ECF，且∠ADE=∠EFC=90°，
∴∠DAB=∠DCF.
(2)解：如图，过点B作BH⊥CD于点H.
∴△CAD≌△BCH（ASA）.
∴BH = CD = 2，CH = AD = x，DH = 2-x.
∵∠ADC=∠BHC=90°
∴AD∥BH.
∴.
，
，
.
.
(3)解：当GC=GD时，如图1，
取AC的中点M，联结MD.那么MD=MC，
联结MG，MG⊥CD，且直线MG经过点B.那么BH与MG共线.
又CH=AD，那么AD=CH=
.
当CG=CD时，如图2，即CG=2，点G为△ABC的重心，
，AB=2CF=6，
，
.
综上所述，AD=1或.
阅读快车系列答案【题目】随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站 | A | B | C | D | E |
x(千米) | 8 | 9 | 10 | 11.5 | 13 |
y1(分钟) | 18 | 20 | 22 | 25 | 28 |
(1)求y1关于x的函数表达式；
(2)李华骑单车的时间y2(单位：分钟)也受x的影响，其关系可以用y2＝
x2－11x＋78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．
