题目内容
【题目】如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．
【答案】解：（1）AF与圆O的相切。理由为：
如图，连接OC，
∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC。
∴∠OCP=90°。
∵OF∥BC，
∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB。
∵OC=OB，∴∠OCB=∠B。∴∠AOF=∠COF。
∵在△AOF和△COF中，OA=OC，∠AOF=∠COF，OF=OF，
∴△AOF≌△COF（SAS）。∴∠OAF=∠OCF=90°。
∴AF为圆O的切线，即AF与⊙O的位置关系是相切。
（2）∵△AOF≌△COF，∴∠AOF=∠COF。
∵OA=OC，∴E为AC中点，即AE=CE=
AC，OE⊥AC。
∵OA⊥AF，∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=5。
∵S△AOF=OAAF=OFAE，∴AE=
。
∴AC=2AE=
。
【解析】
试题（1）连接OC，先证出∠3=∠2，由SAS证明△OAF≌△OCF，得对应角相等∠OAF=∠OCF，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；
（2）先由勾股定理求出OF，再由三角形的面积求出AE，根据垂径定理得出AC=2AE．
试题解析：（1）连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O直径，
∴∠BCA=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，
∴OF⊥AC，
∵OC=OA，
∴∠B=∠1，
∴∠3=∠2，
在△OAF和△OCF中，
，
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°，
∴∠OAF=90°，
∴FA⊥OA，
∴AF是⊙O的切线；
（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，
∴OF=
=5
∵FA⊥OA，OF⊥AC，
∴AC=2AE，△OAF的面积=AFOA=OFAE，
∴3×4=5×AE，
解得：AE=
，
∴AC=2AE=．
