Question

如图，正方形ABCD中，
（1）E为边BC的中点，AE的垂直平分线分别交AB、AE、CD于G、F、H，求

GF

FH

；
（2）E的位置改动为边BC上一点，且

BE

EC

=k，其他条件不变，求

GF

FH

的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）如图1，作辅助线；证明

AE

EK

=

BE

CE

；证明BE=CE，AE=EK，FK=3AF；证明△AGF∽△KHF，得到

GF

FH

=

AF

FK

=

1

3

．
（2）如图2，作辅助线；类比（1）中的解法、思路，即可完成（2）的解答．

解答：解：（1）如图1，分别延长AE、DC交于点K；
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CK，△ABE∽△KCE，
∴

AE

EK

=

BE

CE

；
∵E为边BC的中点，
∴BE=CE，AE=EK；
∵GH平分AE，
∴EK=AE=2AF，FK=3AF；
∵AG∥HK，
∴△AGF∽△KHF，
∴

GF

FH

=

AF

FK

=

1

3

．
（2）如图2，分别延长AE、DC交于点K；
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CK，△ABE∽△KCE，
∴

AE

EK

=

BE

CE

；
∵

BE

EC

=k，
∴AE=kEK；
∵GH平分AE，
∴AF=EF=

1

2

AE=

1

2

kEK，FK=

k+2

2

EK；
∵AG∥HK，
∴△AGF∽△KHF，
∴

FG

FH

=

AF

FK

=

k

k+2

．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，灵活运用正方形的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．