Question

9．（1）矩形ABCD内有一点P，若PA²+PC²=10，求PB²+PD²的值；
（2）由（1）你能得出什么猜想？请说说猜想的依据．

Answer 1

分析 （1）过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F，可证四边形ABFE和CDEF为矩形，则AE=BF，DE=CF，在△PAE，△PCF，△PBF，△PCF中，分别求PA²，PC²，PB²，PD²，再比较PA²+PC²与PB²+PD²即可；
（2）猜想：PA²+PC²=PB²+PD²．

解答 解：（1）过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F，
则四边形ABFE和CDEF为矩形，
∴AE=BF，DE=CF，
由勾股定理得：
则AP²=AE²+PE²，PC²=PF²+CF²，
BP²=BF²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∴PA²+PC²=AE²+PE²+PF²+CF²，
PB²+PD²=BF²+PF²+DE²+PE²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²=10，

（2）猜想：PA²+PC²=PB²+PD²．
理由：（1）中已经证明．

点评 本题考查了勾股定理及矩形的性质，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．