问题情境:如图1.已知点E.F分别在正方形ABCD的边AB.BC上.且BE=BF.点M为AF的中点.连接CE.BM．(1)线段CE与BM之间的数量关系是CE=2BM.位置关系是垂直．猜想证明:(2)如图2.将线段BE和BF绕点B逆时针旋转.旋转角均为α.点M为线段AF的中点.连接BM.请你判断(1)中的两个结论是否仍然成立.若成立.请证明,若不成立.说明理由．探索� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．问题情境：
如图1，已知点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，且BE=BF，点M为AF的中点，连接CE、BM．

（1）线段CE与BM之间的数量关系是CE=2BM，位置关系是垂直．
猜想证明：
（2）如图2，将线段BE和BF绕点B逆时针旋转，旋转角均为α（0°＜α＜90°），点M为线段AF的中点，连接BM，请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，说明理由．
探索发现：
（3）将图1中的线段BE和BF绕点逆时针旋转，旋转角为α=90°，点M为线段AF的中点，得到如图3所示的图形，请你判断线段CE与BM之间的数量关系是否发生变化，请说明理由．

分析（1）根据全等三角形的性质得到CE=AF，∠BAF=∠BCE，根据直角三角形的性质得到BM=AM=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$CE，得到∠BAM=∠ABM，根据垂直的定义即可到结论；
（2）如图2，延长AB到N，使NB=AB，连结FN，推出MB为△ANF的中位线，根据三角形中位线的性质得到FN=2BM，根据全等三角形的性质得到FN=CE，得到CE=2BM，根据平行线的性质得到∠MBA=∠N，即可到结论；
（3）线段CE与BM之间的数量关系没有发生变化．根据线段间的数量关系进行推理即可．

解答解：（1）线段CE与BM之间的数量关系是CE=2BM，位置关系是CE⊥BM；
证明：如图1，在△ABF与△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠CBE}\\{BF=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBE，
∴CE=AF，∠BAF=∠BCE，
∵点M为AF中点，
∴BM=AM=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$CE，
∴∠BAM=∠ABM，
∴∠BCE=∠ABM，
∵∠BCE+∠BEC=∠BEC+∠BCM=90°，
∴BM⊥CE；
故答案为：CE=2BM，垂直；

（2）（1）的两个结论仍然成立，理由为：
证明：如图2，延长AB到N，使NB=AB，连结FN，
∵M为AF中点，B为AN中点，
∴MB为△ANF的中位线，
∴FN=2BM，
∵∠CBA=∠CBN=∠EBF=90°，
∴∠ABC+∠ABE=∠CBN+∠CBF，即∠CBE=∠NBF，
在△CBE和△FBN中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BN}\\{∠CBF=∠NBF}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△FBN（SAS），
∴FN=CE，
∴CE=2BM，
∵MB为△ANF的中位线，
∴BM∥FN，
∴∠MBA=∠N，
又∵△CBE≌△NBF，
∴∠BCE=∠N，
∵∠MBA+∠CBM=90°，
∴∠ECB+∠ABM=90°，即CE⊥BM．

（3）线段CE与BM之间的数量关系没有发生变化．理由如下：
如图3，设AB=BC=a，BE=BF=b，则CE=a+b．
∵点M为AF的中点，
∴MF=$\frac{1}{2}$（a-b），
∴BC=b+$\frac{1}{2}$（a-b）=$\frac{1}{2}$（a+b），
∴CE=2BM．