Question

5．已知：如图，Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，CD⊥BD，垂足为D，DE⊥BC，垂足为E，试猜想DE与AC的长度关系，并加以证明．

Answer 1

分析 延长CD交BA的延长线于F，过D作DM⊥AF于M，由BD平分∠ABC，CD⊥BD，得到∠ABD=∠CBD，∠BDC=∠BDF=90°，推出△BDF≌△BDC，得到CD=DF，根据三角形中位线的性质得到DM=$\frac{1}{2}$AC，由角平分线的性质得到DE=DM，于是得到结论．

解答 解：延长CD交BA的延长线于F，过D作DM⊥AF于M，
∵BD平分∠ABC，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠CBD，∠BDC=∠BDF=90°，
在△BDF与△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CBD}\\{BD=BD}\\{∠BDF=∠BDC}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△BDC，
∴CD=DF，
∵∠A=90°，
∴DM∥AC，
∴DM=$\frac{1}{2}$AC，
∵DE⊥BC，
∴DE=DM，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC．

点评 本题考查了三角形的中位线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．