Question

如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“趣味三角形”．
（1）现请你用直尺与圆规画一个“趣味三角形”（保留作图痕迹）；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=

3

，AC=2，求证：△ABC是“趣味三角形”；
（3）在△ABC中，AB=AC=4，若△ABC是“趣味三角形”，求BC的长．

Answer 1

考点：作图—应用与设计作图,勾股定理

专题：作图题,证明题,新定义,分类讨论

分析：（1）利用趣味三角形的定义直接得出AB中点位置，进而得出答案；
（2）利用趣味三角形的定义，证明AC=BD即可；
（3）利用“趣味三角形”的定义利用分类讨论得出即可．

解答：（1）解：如图所示：


（2）证明：取AC中点D，连接BD，
∵AC=2，∴CD=1，
∵∠C=90°，BC=

3

，
∴BD=

BC2+CD2

=2，
∴AC=BD，
∴△ABC是“趣味三角形”；

（3）解：如图3所示：取BC的中点D，连接AD，
当AD=BC时，△ABC是“趣味三角形”，
∵AB=AC=4，∴BD=DC=

1

2

BC，
在Rt△ABD中，BD²+AD²=AB²，
∴（

1

2

BC）²+BC²=4²，
解得：BC=

64 5

=

8 5

5

，
如图4，取AC中点D，连接BD，
当BD=AC时，△ABC是“趣味三角形”，
∵AB=AC=4，
∴AD=DC=2，
由勾股定理得：
BC²-CE²=AB²-AE²，
∵AB=BD=4，
∴AE=ED=1，
∴EC=3，
解得：BC=

24

=2

6

．

点评：此题主要考查了应用作图与设计以及新定义，利用分类讨论得出是解题关键．