Question

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+$\frac{4}{5}$x+c与直线y=-$\frac{2}{5}$x-$\frac{2}{5}$交于A、B两点，已知点B的横坐标是4，直线y=-$\frac{2}{5}$x-$\frac{2}{5}$与x、y轴的交点分别为A、C，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线y═-$\frac{2}{5}$x-$\frac{2}{5}$上方，求△PAC的最大面积；
（3）设M是抛物线对称轴上的一点，以点A、B、P、M为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将x=4代入直线y=-$\frac{2}{5}$x-$\frac{2}{5}$中求出y值，即可得出点B坐标，在令直线y=-$\frac{2}{5}$x-$\frac{2}{5}$中y=0，求出x值，从而得出点A的坐标，由点A、B两点的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点P作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，设出P点坐标，表示出Q的坐标，利用分割图形法求面积找出S_△PAC关于m的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）假设能，由抛物线的解析式找出抛物线的对称轴，分线段AB为对角线和边两种情况来考虑，根据平行四边形的性质找出关于P点横坐标的一元一次方程，解方程即可求出P点的横坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）把x=4代入y=-$\frac{2}{5}$x-$\frac{2}{5}$=-$\frac{2}{5}$×4-$\frac{2}{5}$=-2，
∴点B的坐标为（4，-2），
把y=0代入y=-$\frac{2}{5}$x-$\frac{2}{5}$=0，
解得：x=-1，
∴点A的坐标为（-1，0），
把A，B代入y=ax²+$\frac{4}{5}$x+c，得：$\left\{\begin{array}{l}{0=a-\frac{4}{5}+c}\\{-2=16a+\frac{16}{5}+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{5}}\\{c=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式：y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{4}{5}$x+$\frac{6}{5}$；
（2）过点P作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，如图1所示．

设P（m，-$\frac{2}{5}$m²+$\frac{4}{5}$m+$\frac{6}{5}$）（1＜m＜4），Q（m，-$\frac{2}{5}$m-$\frac{2}{5}$），
则PQ=-$\frac{2}{5}$m²+$\frac{4}{5}$m+$\frac{6}{5}$-（-$\frac{2}{5}$m-$\frac{2}{5}$）=-$\frac{2}{5}$m²+$\frac{6}{5}$m+$\frac{8}{5}$，
∵S_△PAC=S_△PAQ-S_△PCQ=$\frac{1}{2}$OA•PQ=$\frac{1}{2}$×1×[-$\frac{2}{5}$m²+$\frac{4}{5}$m+$\frac{6}{5}$-（-$\frac{2}{5}$m-$\frac{2}{5}$）]=-$\frac{1}{5}{m}^{2}$+$\frac{3}{5}$m+$\frac{4}{5}$=-$\frac{1}{5}$$（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{5}{4}$（1＜m＜4），
∴当m=$\frac{3}{2}$时，S_△PAC取最大值，最大值为$\frac{5}{4}$．
（3）假设能．由（1）知抛物线的对称轴为x=-$\frac{\frac{4}{5}}{2×（-\frac{2}{5}）}$=1，
∴点M的横坐标为1，以点A、B、P、M为顶点的平行四边形有两种情况：
①当AB为平行四边形的边时，有x_A-x_B=x_P-x_M，则-1-4=x_P-1，
解得：x_P=-4，即点P的横坐标为-4，
将x=-4代入y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{4}{5}$x+$\frac{6}{5}$，得：y=-$\frac{42}{5}$，
∴点P（-4，-$\frac{42}{5}$）；
②当AB为平行四边形的对角线时，有x_P-x_A=x_B-x_M，则x_P-（-1）=4-1，
解得：x_P=2，即点P的横坐标为2，
将x=2代入y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{4}{5}$x+$\frac{6}{5}$，得：y=$\frac{6}{5}$，
∴点P（2，$\frac{6}{5}$）．
综上所述：以点A、B、P、M为顶点的四边形能成为平行四边形，点P的坐标为（-4，-$\frac{42}{5}$）或（2，$\frac{6}{5}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）求出点A、B的坐标；（2）根据二次函数的性质解决最值问题；（3）分类讨论，找出关于点P横坐标的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用分割图形法求图形面积是难点，在日常练习中应加强该知识点的练习．