Question

7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，BE⊥CE，BE是⊙O的切线交DC的延长线于点E．
（1）求证：BD=BA；
（2）若BC=3，⊙O的半径为$\frac{9}{2}$，求线段CD的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由切线得垂直，则OB∥DE，得内错角相等，利用圆内接四边形的一个外角等于内对角得出∠BCE=∠DAB；再利用同圆半径相等和等边对等角及同弧所对的圆周角相等得出∠ADB=∠DAB，利用等角对等边得出结论；
（2）利用两角对应相等证△BCE∽△ACB得出CE的长，由勾股定理分别在三个直角三角形求出AB、BE、DE，则CD=ED-CE．

解答 证明：（1）连接OB，
∵BE是⊙O的切线，
∴OB⊥BE，
∵BE⊥CE，
∴OB∥ED，
∴∠BCE=∠OBC，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠BCE=∠OCB，
∵圆内接四边形ABCD，
∴∠BCE=∠DAB，
∵∠BCO=∠ADB，
∴∠ADB=∠DAB，
∴BD=BA；
（2）∵∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，AC=2A0=9，
在Rt△ABC中，∵BC=3，
∴AB=$\sqrt{{9}^{2}-{3}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴BD=AB=6$\sqrt{2}$，
∵∠E=∠ABC=90°，∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴$\frac{3}{9}$=$\frac{CE}{3}$，
∴CE=1，
在Rt△BCE中，AE=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△BDE中，ED=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{64}$=8，
∴CD=ED-EC=8-1=7．

点评 本题考查了切线的性质和三角形的外接圆，在圆中证明两条弦相等，通常都证这两条弦所对的圆周角相等；本题已知切线这一条件，因此都要连接切点和圆心，利用切线的性质得垂直关系，另外在圆中求边长的方法：①利用勾股定理；②相似三角形．