Question

18．化简求值：
（1）已知：x=$\frac{2}{{\sqrt{3}-1}}$，求x²-x+1的值．
（2）已知：a=$\frac{{2-\sqrt{3}}}{{2+\sqrt{3}}}$，b=$\frac{{2+\sqrt{3}}}{{2-\sqrt{3}}}$，求：$\sqrt{{a^2}+4ab+{b^2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）首先把x化简，得出x-1的值，再由完全平方公式即可得出结果；
（2）首先把a和b化简，得出a+b的值，再根据完全平方公式得出a²+4ab+b²的值，即可得出结果．

解答 解：（1）∵x=$\frac{2}{{\sqrt{3}-1}}$=$\sqrt{3}$+1，
∴x-1=$\sqrt{3}$，
∴x²-x+1=（x-1）²+x=3+$\sqrt{3}$+1=4+$\sqrt{3}$；
（2）∵a=$\frac{{2-\sqrt{3}}}{{2+\sqrt{3}}}$=（2-$\sqrt{3}$）²=7-4$\sqrt{3}$，
b=$\frac{{2+\sqrt{3}}}{{2-\sqrt{3}}}$=（2+$\sqrt{3}$）²=7+4$\sqrt{3}$，
∴a+b=14，ab=1，
∴a²+4ab+b²=（a+b）²+2ab=14²+2×1=198，
∴$\sqrt{{a^2}+4ab+{b^2}}$=$\sqrt{198}$=3$\sqrt{22}$．

点评 本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式；熟练掌握二次根式的化简和完全平方公式是解决问题的关键．