Question

8．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+7的图象交y轴于点D，且它与正比例函数y=$\frac{3}{4}$x的图象交于点A．
（1）求点D的坐标；
（2）求线段OA的长；
（3）设x轴上有一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交y=$\frac{3}{4}$x和y=-x+7的图象于点B、C，连接OC，若BC=$\frac{7}{5}$OA，求△OBC的面积．

Answer 1

分析 （1）把x=0代入y=-x+7可得D点坐标；
（2）联立两一次函数的解析式求出x、y的值即可得出A点坐标，利用勾股定理可得OA的长；
（3）过点A作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△OAD中根据勾股定理求出OA的长，故可得出BC的长，根据P（a，0）可用a表示出B、C的坐标，故可得出a的值，由三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）令x=0，y=-x+7=0+7=7，
∴D点坐标为（0，7）；

（2）根据题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x}\\{\;}\\{y=-x+7}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{\;}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴A（4，3）；
OA=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5；

（3）过点A作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△OAD中，
∵OA=5．∴BC=$\frac{7}{5}$OA=$\frac{7}{5}$×5=7．
∵P（a，0），
∴B（a，$\frac{3}{4}$a），C（a，-a+7），
∴BC=$\frac{3}{4}$a-（-a+7）=$\frac{7}{4}$a-7，
∴$\frac{7}{4}$a-7=7，解得a=8，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$BC•OP=$\frac{1}{2}$×7×8=28．

点评 本题考查的是两条直线相交或平行问题，根据题意作出辅助线．构造出直角三角形是解答此题的关键．