题目内容

20．我市某风景区门票价格如图所示，黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅游团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩．两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人，设甲团队人数为x人．如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元．
（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约多少钱；
（3）“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变；人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a元；人数超过100人时，每张门票降价2a元，在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，甲乙两团队联合购票比分别购票最多节约3400元，求a的值．

分析 （1）根据甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，得到x≥70，分两种情况：①当70≤x≤100时，W=70x+80（120-x）=-10x+9600，②当100＜x＜120时，W=60x+80（120-x）=-20x+9600，即可解答；
（2）根据甲团队人数不超过100人，所以x≤100，由W=-10x+9600，根据70≤x≤100，利用一次函数的性质，当x=70时，W最大=8900（元），两团联合购票需120×60=7200（元），即可解答；
（3）根据每张门票降价a元，可得W=（70-a）x+80（120-x）=-（a+10）x+9600，利用一次函数的性质，x=70时，W最大=-70a+8900（元），而两团联合购票需120（60-2a）=7200-240a（元），所以-70a+8900-（7200-240a）=3400，即可解答．

解答 解：（1）∵甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，
∴120-x≤50，
∴x≥70，
①当70≤x≤100时，W=70x+80（120-x）=-10x+9600，
②当100＜x＜120时，W=60x+80（120-x）=-20x+9600，
综上所述，W=$\left\{\begin{array}{l}{-10x+9600（70≤x≤100）}\\{-20x+9600（100＜x＜120）}\end{array}\right.$
（2）∵甲团队人数不超过100人，
∴x≤100，
∴W=-10x+9600，
∵70≤x≤100，
∴x=70时，W最大=8900（元），
两团联合购票需120×60=7200（元），
∴最多可节约8900-7200=1700（元）．
（3）∵x≤100，
∴W=（70-a）x+80（120-x）=-（a+10）x+9600，
∴x=70时，W最大=-70a+8900（元），
两团联合购票需120（60-2a）=7200-240a（元），
∵-70a+8900-（7200-240a）=3400，
解得：a=10．

点评 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数解析式，利用一次函数的性质求得最大值．注意确定x的取值范围．

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