Question

5．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）与正比例函数y=ax相交于A（1，k），B（-k，-1）两点．
（1）求反比例函数和正比例函数的解析式；
（2）将正比例函数y=ax的图象平移，得到一次函数y=ax+b的图象，与函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），且|x₁-x₂|•|y₁-y₂|=5，求b的值．

Answer 1

分析 （1）首先根据点A与点B关于原点对称，可以求出k的值，将点A分别代入反比例函数与正比例函数的解析式，即可得解．
（2）分别把点（x₁，y₁）、（x₂，y₂）代入一次函数y=x+b，再把两式相减，根据|x₁-x₂|•|y₁-y₂|=5得出|x₁-x₂|=|y₁-y₂|=$\sqrt{5}$，然后通过联立方程求得x₁、x₂的值，代入即可求得b的值．

解答 解：（1）据题意得：点A（1，k）与点B（-k，-1）关于原点对称，
∴k=1，
∴A（1，1），B（-1，-1），
∴反比例函数和正比例函数的解析式分别为y=$\frac{1}{x}$，y=x；

（2）∵一次函数y=x+b的图象过点（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}={x}_{1}+b}\\{{y}_{2}={x}_{2}+b}\end{array}\right.$，
②-①得，y₂-y₁=x₂-x₁，
∵|x₁-x₂|•|y₁-y₂|=5，
∴|x₁-x₂|=|y₁-y₂|=$\sqrt{5}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$得x²+bx-1=0，
解得，x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}+4}}{2}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}+4}}{2}$，
∴|x₁-x₂|=|$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}+4}}{2}$-$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}+4}}{2}$|=|$\sqrt{{b}^{2}+4}$|=$\sqrt{5}$，
解得b=±1．

点评 本题考查了反比例函数与正比例函数关于原点对称这一知识点，以及用待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特点，利用对称性求出点的坐标是解题的关键．