Question

2．在平面直角坐标系中B（3，2），BC⊥y轴于C，BA⊥x轴于A，点E在线段AB上从B向A以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t秒（0＜t＜2）．将BE沿BD折叠，使E点恰好落在BC上的F处．
（1）如图1，若E为AB的中点，请直接写出F、D两点的坐标：F（2，2）    D（1，0）
（2）如图1，连接CD，在（1）的条件下，求证：CD=FD．
（3）如图2，在E点运动的同时，M点在OC上从C向O运动，N点在OA上从A向O运动，M的运动速度为每秒3个单位，N的运动速度为每秒a个单位．在运动过程中，△CMF能与△ANE全等吗？若能，求出此时a与t的值，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质，求出OA=BC=3，OC=AB=2，借助中点和折叠得出CF=2，再判断出，△AED≌△GFD，求出OD=1；
（2）有（1）得出，△AED≌△GFD，而DG⊥BC，从而判断出△CDF是等腰三角形，即可；
（3）由线段的长，要△CMF能与△ANE全等，只有△CMF≌△AEN，利用运动，用时间表示出CM=3t，AN=at，CF=3-t，AE=2-t，利用全等三角形的对应边相等求出a，t．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，且B（3，2），
∴OA=BC=3，OC=AB=2，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE=1，
由折叠得，BF=BE=1，
∴CF=2，
∴F（2，2），
如图1，

过点D作DG⊥BC于G，
由折叠得，DE=DF，∠BED=∠BFD，
∴∠AED=DFC，
在△AED和△GFD中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠DGF=90°}\\{∠AED=∠GFD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△GFD，
∴AD=DG=OC=2，
∴OD=1，
∴D（1，0），
故答案为：2，2，1，0；
（2）如图1，过点D作DG⊥BC于G，
由折叠得，DE=DF，∠BED=∠BFD，
∴∠AED=DFC，
在△AED和△GFD中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠DGF=90°}\\{∠AED=∠GFD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△GFD，
∴GF=AE=1，
∵CF=2，
∴CG=1，
∴CG=FG，
∵DG⊥CG，
∴CD=FD；
（3）能全等，即：△CMF≌△AEN，
理由：
∵M点在OC上从C向O运动，N点在OA上从A向O运动，M的运动速度为每秒3个单位，N的运动速度为每秒a个单位，点E在线段AB上从B向A以每秒1个单位的速度运动，
∴CM=3t，AN=at，BE=t，
∴AE=2-t，
∵将BE沿BD折叠，使E点恰好落在BC上的F处，
∴BF=BE=t，
∴CF=BC-BF=3-t，
∵BF=BE，BC≠AB，
∴AE=CF，
∵△CMF与△ANE全等
∴△CMF≌△AEN，
∴CM=AE，CF=AN，
∴3t=2-t，3-t=at，
∴t=$\frac{1}{2}$，a=5．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，中点的意义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解本题的关键是判断△AED≌△GFD．作出辅助线是解本题的难点．