Question

10．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（　　）
①∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF；④S_△BEC=2S_△CEF．

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 ①根据平行四边形的性质和平行线的性质解答即可；
②延长EF，交CD延长线于M，证明△AEF≌△DMF，得到EF=FM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；
③设∠FEC=x，用x分别表示出∠DFE和∠AEF，比较即可；
④根据EF=FM，得到S_△EFC=S_△CFM，根据MC＞BE，得到S_△BEC＜2S_△EFC．

解答 解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在?ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD，故此选项正确；
②如图1，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠MDF}\\{∠AFE=∠DFM}\\{AF=DF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE，故②正确；
③设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确；
④∵EF=FM，
∴S_△EFC=S_△CFM，
∵MC＞BE，
∴S_△BEC＜2S_△EFC
故S_△BEC=2S_△CEF错误，
故选：A．

点评 本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线、得出△AEF≌△DMF是解题关键．