Question

如图，A、B为⊙O上两点，直径CD平分AB，交AB于E，如图1．
（1）若AB=8，CE=2，求⊙O的半径长；
（2）如图2，P为圆上异于A、B、C、D的一点，连接PA、PB、PC、PD．若∠BAC=15°，求∠APC、∠APD和∠OBE度数．

Answer 1

考点：垂径定理,圆周角定理

专题：

分析：（1）连接OA，根据垂径定理可得出AE的长，设OA=x，则OE=OC-EC=x-2，在Rt△OAE中根据勾股定理即可得出结论；
（2）先根据垂径定理得出

AC

=

BC

，故可得出∠APC=∠BAC=15°，即

AC

=15°，根据圆心角、弧、弦的关系得出∠APD的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．

解答：解：（1）连接OA．
∵直径CD平分AB，
∴CD⊥AB，AE=

1

2

AB=4，
设OA=x，则OE=OC-EC=x-2．
在Rt△OAE中，OE²+AE²=OA²，即（x-2）²+4²=x²，解得x=5，
∴⊙O的半径长为5．

（2）∵直径CD平分AB，交AB于E，
∴

AC

=

BC

，
∴∠APC=∠BAC=15°，
∴

AC

=15°，
∴

ABD

=90°+15°=105°，
∵∠APD=105°．
∵∠BAC=15°，
∴∠BOC=30°．
∵CD⊥AB，
∴∠OBE=90°-30°=60°．

点评：本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．