Question

7．已知关于x的一元二次方程x²-（m+1）x+$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m-$\frac{3}{4}$=0的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）求矩形两邻边的长（用有关m的代数式表示）；
（2）当矩形的对角线长为$\sqrt{10}$时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先求出△，再代入公式求出即可；
（2）根据勾股定理得出关于m的方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）x²-（m+1）x+$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m-$\frac{3}{4}$=0，
x=$\frac{（m+1）±\sqrt{4}}{2}$，
x₁=$\frac{m+3}{2}$，x₂=$\frac{m-1}{2}$，
即矩形两邻边的长为$\frac{m+3}{2}$和$\frac{m-1}{2}$；

（2）∵矩形的对角线长为$\sqrt{10}$，
∴（$\frac{m+3}{2}$）²+（$\frac{m-1}{2}$）²=（$\sqrt{10}$）²，
解得：m=-5或3，
当m=-5时，$\frac{m+3}{2}$=-1，边长不能为负数，不符合题意舍去，
所以m=3．

点评 本题考查了矩形的性质，勾股定理，根与系数的关系，根的判别式等知识点，能求出两边长是解此题的关键．