如图.矩形OABC的顶点A.C分别在x.y轴的正半轴上.点D为对角线OB的中点.点E(4.m)在边AB上.反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的图象经过点D.E.且cos∠BOA=$\frac{4}{5}$．(1)求边AB的长,(2)求反比例函数的解析式和m的值,(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F.点G.H分别是y轴.x轴上的点.当△OGH≌� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，m）在边AB上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且cos∠BOA=$\frac{4}{5}$．
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和m的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，点G、H分别是y轴、x轴上的点，当△OGH≌△FGH时，求线段OG的长．

分析（1）由矩形的性质可求得OA，由三角函数定义可求得OB，则可求得AB的长；
（2）由条件可求得D点坐标，代入反比例函数解析式，可求得其解析式，把E点坐标代入解析式可求得m的值；
（3）由反比例函数解析式可求得F点坐标，则可求得CF的长，设OG=x，利用三角形全等的性质可表示出CG和FG，在Rt△CGF中利用勾股定理可得到方程，可求得OG的长．

解答解：
（1）∵点E（4，m）在边AB上，
∴OA=4，
在Rt△AOB中，
∵cos∠BOA=$\frac{4}{5}$，
∴OB=5，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}-O{A}^{2}}$=3；
（2）由（1），可得点B的坐标为（4，3），
∵点D为OB的中点，
∴点D（2，1.5）．
∵点D在反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k≠0）的图象上，
∴k=3，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$，
又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，
∴$m=\frac{3}{4}$；
（3）设点F（a，3），
∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，
∴a=1，
∴CF=1，
设OG=x，
∵△OGH≌△FGH，
∴OG=FG=x，CG=3-x，
在Rt△CGF中，
由勾股定理可得GF²=CF²+CG²，
即x²=（3-x）²+1²，
解得x=$\frac{4}{3}$，
∴OG=$\frac{4}{3}$．

点评本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、三角函数的定义、矩形的性质、全等三角形的性质及方程思想．在（1）中利用三角函数的定义求得OB的长是解题的关键，在（2）中利用矩形的性质求得D点坐标是解题的关键，在（3）中用OG的长分别表示出CG和FG是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．