Question

16．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CA，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，求证：AE²+AD²=2AC²．（提示：连接BD）

Answer 1

分析 连结BD，根据等腰直角三角形的性质就可以得出△AEC≌△BDC，就可以得出AE=BD，∠E=∠BDC，由等腰直角三角形的性质就可以得出∠ADB=90°，由勾股定理就可以得出结论．

解答 证明：连接BD，如图所示：
∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，
EC=DC，AC=BC，AC²+BC²=AB²，
∴2AC²=AB²．∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD
在△AEC和△BDC中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACE=∠BCD}&{\;}\\{EC=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
∴AE=BD，∠E=∠BDC．
∴∠BDC=45°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，
即∠ADB=90°．
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD²+AE²=2AC²．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．