Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于F．
（1）求证：∠ABC=∠F；
（2）若sinC=

3

5

，DF=6，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）由切线的性质得AB⊥BF，因为CD⊥AB，所以CD∥BF，由平行线的性质得∠ADC=∠F，由圆周角定理得∠ABC=∠ADC，于是得证∠ABC=∠F；
（2）连接BD．由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，因为∠ABF=90°，所以∠A=∠DBF，于是得∠C=∠DBF．在Rt△DBF中得BD=8．在Rt△ABD中，sinC=sinA=

3

5

，AB=

40

3

，于是⊙O的半径为

20

3

．

解答：（1）证明：∵BF为⊙O的切线，
∴AB⊥BF于点B．
∵CD⊥AB，
∴∠ABF=∠AHD=90°．
∴CD∥BF．
∴∠ADC=∠F．
又∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC=∠F．
（2）解：连接BD．

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
由（1）∠ABF=90°，
∴∠A=∠DBF．
又∵∠A=∠C．
∴∠C=∠DBF．
在Rt△DBF中，sinC=sin∠DBF=

3

5

，DF=6，
∴BD=8．
在Rt△ABD中，sinC=sinA=

3

5

，
∴AB=

40

3

．
∴⊙O的半径为

20

3

．

点评：本题主要考查了切线的性质以及解直角三角形，还用到圆周角定理及其推论，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．