Question

14．已知a，b是互质的正整数，满足a+b=2005，用[x]表示数x的整数部分，并记
A=[$\frac{2005×1}{a}$]+[$\frac{2005×2}{a}$]+…+[$\frac{2005×a}{a}$]，
B=[$\frac{2005×1}{b}$]+[$\frac{2005×2}{b}$]+…+[$\frac{2005×b}{b}$]．
试求A+B的值．

Answer 1

分析 直接利用当a=2，则b=2003，当a=3，则b=2002，分别得出A+B的值，进而得出规律求出答案．

解答 解：当a=2，则b=2003，
故A=1002+2005=3007，
B=1+2+3+…+1001+1003+…+2003+2005
=$\frac{1002×1001}{2}$+$\frac{3006×1001}{2}$+2005
=501501+1504503+2005
=2008009，
则A+B=2011016，
当a=3，则b=2002，
A=668+1336+2005=4009，
B=1+…+667+669+…+1335+1337+…2003+2005
=222778+668334+1113890+2005
=20072007，
故A+B=2011016，
观察以上两种情况，可知，A+B=1+2+…+2003+2005×2=2011016，
所以，以此类推得到，A+B=2011016．

点评 此题主要考查了质数与取整计算，利用特殊值法求出A+B的值是解题关键．