Question

5．请完成下面的说明：
（1）如图①所示，△ABC的外角平分线交于G，试说明∠BGC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（2）如图②所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
（3）用（1），（2）的结论，直接写出∠BGC和∠BIC的关系．

Answer 1

分析 （1）根据三角形外角性质和三角形内角和定理得出∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ACB，∠A+∠ABC+∠CBA=180°，求出∠EBC+∠FCB=180°+∠A，求出∠2+∠3的度数，即可得出答案；
（2）求出∠6+∠8的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）根据（1）（2）的结论即可得出答案．

解答 解：（1）如图①，∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ACB，∠A+∠ABC+∠CBA=180°，
∴∠EBC+∠FCB=180°+∠A，
∵BG、CG分别平分∠EBC、∠FCB，
∴∠2+∠3=$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BGC=180°-（∠2+∠3）=90°-$\frac{1}{2}$∠A；

（2）如图②，∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠6+∠8=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BIC=180°-（∠6+∠8）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；

（3）∠BGC和∠BIC的关系是互补，
理由是：∵∠BGC=90°-$\frac{1}{2}$∠A，∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
∴∠BGC+∠BIC=180°，
∴∠BGC和∠BIC的关系是互补．

点评 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键．