Question

【题目】如图1，抛物线与轴于点两点，与轴交于点.直线经过点，与抛物线另一个交点为，点是抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点在直线上方，且是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标；

（3）如图2，连接，以点为直角顶点，线段为较长直角边，构造两直角边比为1：2的，是否存在点，使点恰好落在直线上?若存在，请直接写出相应点的横坐标（写出两个即可）；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的坐标是或；（3）点的横坐标为-3或2或、.

【解析】

（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）先把C点代入直线CD中求出m的值，表示P（m，-m2+2m+3）、E（m，-m+3），
当△CPE是以CE为腰的等腰三角形时，分两种情况：
①当CE=CP时，过C作CG⊥PF于G，根据OC=FG列方程解出即可；
②当CE=PE时，先表示CE、EG、CG的长，利用勾股定理得：CG2+EG2=CE2，列方程解出即可；
（3）先根据点P在抛物线上，G在直线y=x上设P（m，-m2+2m+3），G（a，a），
如图3，作辅助线，构建两个相似三角形，证明△PHG∽△BNP，则，由两直角边比为1：2列方程组解出横坐标m；
如图4，同理列方程组解出m的值．

解： ⑴将A（-1，0），C（0,3）代入得

解得：

所以抛物线的解析式是；

⑵把代入直线得：，∴直线的解析式为：，

设，

①当时，如上图，在图1中做辅助线，过作于，

∴，

∵，∴，∴，∵，

∴，解得：，

当时，，∴，

②当时，在中，，，

由勾股定理得：，，解得：（舍），，

当时，，∴，综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标是或；

（3）

设P（m，-m2+2m+3），G（a，a），
如图3，过B作BN∥y轴，过P作PH∥x轴，交于N，过G作GH⊥PN，垂足为H，则∠PHG=∠BNP=90°，
∴∠NBP+∠BPN=90°，
∵∠BPG=90°，
∴∠BPN+∠NPG=90°，
∴∠NBP=∠NPG，
∴△PHG∽△BNP，
∴，
∵，
∴，
∴

则，
解得：m1=-3，m2=2；

如图4，过P作NH∥x轴，过G作GN⊥NH，过B作BH⊥NH，垂足分别为N、H，
同理得：△PNG∽△BHP，
∴，

∴解得：m=

综上所述，相应点的横坐标为-3或2或、.