Question

20．已知：如图，△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB，点D、E是BC上的两点，且∠DAE=45°，△ADC与△ADF关于直线AD对称．
（1）求证：△AEF≌△AEB；
（2）∠DFE=90°．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质得到△AFD≌△ADC，根据全等三角形的性质得到AC=AF，CD=FD，∠C=∠DFA，∠CAD=∠FAD，由于AB=AC，于是得到AF=AB，证得∠FAE=∠BAE，即可得到结论；
（2）由（1）知△AFE≌△ABE，根据全等三角形的性质得到∠AFE=∠C，EF=EC，即可得到结论．

解答 解：（1）∵把△ADC沿着AD折叠，得到△ADF，
∴△AFD≌△ADC；
∴AC=AF，CD=FD，∠C=∠DFA，∠CAD=∠FAD，
∵AB=AC，
∴AF=AB，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=∠BAE，
在△AFE与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AB}\\{∠FAE=∠BAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△ABE，

（2）由（1）知△AFE≌△ABE，
∴∠AFE=∠C，EF=EC，
∴∠DFE=∠DFA+∠EFA=∠B+∠C=90°．
故答案为：90°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．