Question

9．已知二次函数y=-x²+（k+1）x+3，当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小．
（1）写出这个二次函数的表达式；
（2）这个二次函数有最大值还是最小值？最大（小）值是几？

Answer 1

分析 （1）由增减性可求得其对称轴，则可求得k的值，可求得函数表达式；
（2）把解析式化为顶点式，结合开口方向可求得答案．

解答 解：
（1）∵y=-x²+（k+1）x+3，
∴对称轴为x=-$\frac{k+1}{2×（-1）}$=$\frac{k+1}{2}$，
∵当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴对称轴为x=1，
∴$\frac{k+1}{2}$=1，解得k=1，
∴抛物线表达式为y=-x²+2x+3；
（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为4．

点评 本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）²+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．