Question

15．△ABC和△ACD中，AB=AC=AD，∠BAC=∠CAD=45°，现将一块等腰直角三角板EFG（∠FEG=45°）如图放置（E与A重合）．
（1）如图1，当EF、EG分别交BC、CD边于M、N时，求证：AM=AN；
（2）如图2，当EF、EG分别交BC、CD的延长线于M、N时，问：（1）中的结论还成吗？若成立，请证之；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠ACD=67.5°，再求出∠BAM=∠CAN，然后利用“角边角”证明△ABM和△ACN全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=AN；
（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠ACD=67.5°，再求出∠BAM=∠CAN，然后利用“角边角”证明△ABM和△ACN全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=AN．

解答 （1）证明：∵AB=AC=AD，∠BAC=∠CAD=45°，
∴∠B=∠ACB=∠ACD=∠D=$\frac{1}{2}$×（180°-45°）=67.5°，
∵∠FEG=45°（E与A重合），
∴∠MAN=45°，
∴∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，
即∠BAM=∠CAN，
在△ABM和△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CAN}\\{AB=AC}\\{∠B=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（ASA），
∴AM=AN；

（2）结论仍然成立．
理由如下：∵AB=AC=AD，∠BAC=∠CAD=45°，
∴∠B=∠ACB=∠ACD=∠D=$\frac{1}{2}$×（180°-45°）=67.5°，
∵∠FEG=45°（E与A重合），
∴∠MAN=45°，
∴∠BAC+∠CAM=∠MAN+∠CAM，
即∠BAM=∠CAN，
在△ABM和△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CAN}\\{AB=AC}\\{∠B=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（ASA），
∴AM=AN．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，根据45°角找出相等的角是解题的关键．