Question

12．已知b，c都为1，2，3，…10中的数，若方程x²-bx-c=0至少有一根α也是1，2，3，…10中的数，就称该方程为“漂亮方程”，则“漂亮方程”的个数为（　　）

• A． 8
• B． 10
• C． 12
• D． 14

Answer 1

分析 根据题意，用十字相乘法，先把c分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是b，进而可以确定方程，再依次分析c等于1、2、3、…10，分别分析、列举其“漂亮方程”的个数，由加法原理，计算可得答案．

解答 解：用十字相乘法，先把c分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是b；
c=1时，有1×（-1）=-1，b=1-1=0不合题意．

c=2 时，有2×（-1）=-2，b=2-1=1，则漂亮方程为x²-x-2=0；
c=3时，有3×（-1）=-3，b=3-1=2，则漂亮方程为x²-2x-3=0；
c=4时，有4×（-1）=-4，b=4-1=3，则漂亮方程为x²-3x-4=0，
c=5时，有5×（-1）=-5，b=5-1=4，则漂亮方程为x²-4x-5=0；
c=6时，有6×（-1）=-6，b=6-1=5，则漂亮方程为x²-5x-6=0，
同时，有2×（-3）=-6，b=3-1=2，则漂亮方程为x²-x-6=0；
c=7时，有7×（-1）=-7，b=7-1=6，则漂亮方程为x²-6x-7=0，
c=8时，有8×（-1）=-8，b=8-1=7，则漂亮方程为x²-7x-8=0，
同时，有（-2）×4=-8，b=4-2=2，则漂亮方程为x²-2x-8=0；
c=9时，有9×（-1）=-9，b=9-1=8，则漂亮方程为x²-8x-9=0；
c=10时，有10×（-1）=-10，b=10-1=9，则漂亮方程为x²-10x-9=0，
同时，有（-2）×5=-10，b=5-2=3，则漂亮方程为x²-3x-10=0；
综合可得，共12个漂亮方程，
故选C．

点评 本题考查一元二次方程根与系数的关系，学会分类计数原理的应用，灵活掌握十字相乘法是解决问题的关键，需要认真审题理解题意，不能漏解．