Question

11．如图，在等边△ABC中，D为AB上一点，连接CD，在CD上取一点E，∠BEC=120°，连接BE．若CD=$\frac{14}{3}$，BE=2，△ACD的面积为$\frac{14}{3}$$\sqrt{3}$，则△BCE的面积为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过B作BH⊥CD延长线于点H，根据三角函数可求BH=$\sqrt{3}$，HE=1，再根据三角形面积公式得到AB=2$\sqrt{7}$，BD=$\frac{1}{3}$×2$\sqrt{7}$，根据勾股定理和线段的和差故关系可得CE=4，再根据三角形面积公式即可求解．

解答 解：过B作BH⊥CD延长线于点H，
∵∠BEH=180°-120°=60°，BE=2，
∴BH=$\sqrt{3}$，HE=1，
S_△BCD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{14}{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△BCA=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$+$\frac{14\sqrt{3}}{3}$=7$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²，
解得AB=2$\sqrt{7}$，
∴$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△BCA}}$=$\frac{2}{3}$=$\frac{AD}{AB}$，得BD=$\frac{1}{3}$×2$\sqrt{7}$，
在Rt△BDH中，DH=$\sqrt{B{D}^{2}-B{H}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，DE=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
CE=$\frac{14}{3}$-$\frac{2}{3}$=4，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×4=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，三角形面积，求得BH，CE的长是解题的关键．