Question

3．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=8，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于4．

Answer 1

分析 作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再证明△ADE≌△ABF，得到DE=BF=8，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=$\frac{1}{2}$BF=4．

解答 解：如图，

作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BF}$，
∴DE=BF=8，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH=$\frac{1}{2}$BF=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了垂径定理和三角形中位线性质，以及圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．