Question

【题目】如图，抛物线经过，，与y轴交于点C，点P是抛物线上BC上方的一个动点．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式：

（2）当PAC的面积时，求点P的坐标；

（3）若抛物线上有另一动点Q，满足BC平分，过点O作PQ的平行线交抛物线于点D，求点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（1，4）；（3）或．

【解析】

（1）将，代入，利用待定系数法即可求出函数表达式；

（2）如图1，过P作PQ⊥x轴交AC于点M，设，则，

用代数式表示出，解方程即可得P的横坐标，从而得解；

（3）如图2，过点P分别作x轴，y轴的平行线，过Q作y轴的垂线．设，，由角平分线和平行线的性质得到∠CPE=∠CQF，再根据正切的定义得到，进而得到∠PQH的正切值，从而得出直线OD的解析式，再联立方程组求出D的坐标．

（1）由题意将，代入得：

解得：

抛物线的解析式为：

（2）如图1，过P作PQ⊥x轴交AC于点M，

∵

∴C（0，3），又A（3，0），

可得直线AC:y=-x+3,

设，则，

∴，

∵

解得（此时点P与B重合，不合题意舍去）

∴可得；

（3）如图2，过点P分别作x轴，y轴的平行线，过Q作y轴的垂线，

设，．

由角平分线和平行线的性质得到易得∠CPE=∠CQF，

故，即：

=2

可得直线OD：,

联立两直线得方程组：

解得：

或．