Question

【题目】直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、点，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点在轴上，连接，若，求点的坐标；

（3）如图2，将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线，平移直线经过原点，交抛物线于点．点，点是第一象限内一动点，交于点，轴分别交、于、，试探究与之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）、；（3）

【解析】

（1）先求出点B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）先在轴负半轴上取一点，使，证明即可求出OP得到点P的坐标；

（3）求出直线的解析式为y=nx，直线的解析式，联立求得点，利用轴分别交、于、，求出，，得到，，即可证得结论QS=SR.

解：（1）在y=-x+1中，令，得，

∴，

∵经过点、点，

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为：．

（2）在y=-x+1中，令，得，

∴，

在中，令，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

在轴负半轴上取一点，使，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

∴，

∴，

∴，

根据对称性知也符合要求.

综上所述，符合条件的点的坐标为、.

（3）依题意知：抛物线的解析式为，直线的解析式为，

∴，

设，∵，

∴直线的解析式为y=nx，

直线的解析式，

联立，

消去整理得，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵轴分别交、于、，

∴，，

∴，

，

∴.