Question

15．如图，AB是⊙O的直径，AT=AB，∠ABT=45°．
（1）求证：AT是⊙O的切线；
（2）E为OB上一点，DF⊥DE交AT于F．若DE=$\sqrt{10}$，TF=4，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）求出∠BAT=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）证△DFE≌△DEA，求出AE=TF=4，根据勾股定理得出关于R的方程，求出即可．

解答 （1）证明：∵在△BAT中，AT=AB，∠ABT=45°，
∴∠T=∠ABT=45°，
∴∠BAT=90°，
即BA⊥AT，
∵AB过圆心O，
∴AT是⊙O的切线；

（2）解：
连接AD，OD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AT，
∴DT=BD，
∵∠BAT=90°，
∴DT=BD=AD，
∵∠BAT=90°，DE⊥DF，
∴∠DFA+∠DEA=360°-90°-90°=180°，
∵∠DFA+∠DFT=180°，
∴∠DFT=∠DEA，
∵∠TDA=∠ADB=∠BAT=90°，
∴∠DTA+∠DAT=90°，∠DAT+∠DAE=90°，
∴∠T=∠DAE，
在△DFT和△DEA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠T=∠DAE}\\{∠DFT=∠DEA}\\{TD=DA}\end{array}\right.$
∴△DFT≌△DEA，
∴DF=DE=$\sqrt{10}$，AE=FT=4，
设⊙O的半径为R，
在Rt△DOE中，DE²=DO²+OE²，
（$\sqrt{10}$）²=R²+（4-R）²，
解得：R=1或3，
∵E在OB上，AE=4，
∴当R=1时，AB=2＜4，此时不符合舍去，
即⊙O的半径为3．

点评 本题考查了切线的判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，能综合运用性质和定理进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．