Question

18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c与y轴相交于点A（O，4），与x轴相交于点B（3，O）、C（1，O），顶点为M．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴与x轴相交于点H，与直线AB相交于点N，求证：四边形MBNC是菱形；
（3）如图2，若P是以D（-1，O）为圆心，以1为半径的⊙D上一动点，连结PA、PB，求使△PAB面积取得最大值时的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求得即可；
（2）根据解析式的顶点式求得顶点坐标，进而求得MH=$\frac{4}{3}$，CH=HB=1，根据Rt△AOB∽Rt△NHB的性质求得NH=$\frac{4}{3}$=MH，即可证得四边形MBNC是平行四边形（对角线互相平分），由MN⊥CB，证得四边形MBNC是菱形；
（3）过点D作AB的垂线，垂足为E，延长ED交⊙D于点P，此时△PAB面积最大，设点P的坐标为（-a，-b），其中a，b＞0，作PF⊥x轴于F，则PF=b，DF=a-1，由△PDF∽△BAO，得出$\frac{PF}{BO}$=$\frac{DF}{AO}$=$\frac{DP}{AB}$，即$\frac{b}{3}=\frac{a-1}{4}=\frac{1}{5}$，即可求得a、b的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（0，4）、B（3，0）、C（1，0）
∴$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}9a+3b+c=0\\ a+b+c=0\\ c=4.\end{array}\right.\end{array}$，
解得，$a=\frac{4}{3}$，b=-$\frac{16}{3}$，c=4．
∴抛物线的解析式为$y=\frac{4}{3}{x^2}-\frac{16}{3}x+4$．
（2）由（1）知，抛物线的解析式为$y=\frac{4}{3}{x^2}-\frac{16}{3}x+4$=$\frac{4}{3}$（x-2）²-$\frac{4}{3}$，
∴M（2，$-\frac{4}{3}$）
∴MH=$\frac{4}{3}$，CH=HB=1，
又AO=4，OB=3
由Rt△AOB∽Rt△NHB，
∴$\frac{NH}{HB}=\frac{AO}{OB}$，
∴NH=$\frac{4}{3}$=MH，
∴四边形MBNC是平行四边形（对角线互相平分），
∵MN⊥CB，
∴四边形MBNC是菱形；
（3）过点D作AB的垂线，垂足为E，延长ED交⊙D于点P，
此时△PAB面积最大，
设点P的坐标为（-a，-b），其中a，b＞0，
作PF⊥x轴于F，则PF=b，DF=a-1，
∵∠PFD=∠BOA=90°，∠PDF=∠BDE=90°-∠OBE=∠BAO，
∴△PDF∽△BAO，
∴$\frac{PF}{BO}$=$\frac{DF}{AO}$=$\frac{DP}{AB}$，即$\frac{b}{3}=\frac{a-1}{4}=\frac{1}{5}$，
∴a=$\frac{9}{5}$，b=$\frac{3}{5}$，即点P的坐标为（-$\frac{9}{5}$，$\frac{3}{5}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形相似的判定和性质，菱形的判定，数形结合思想的运用是解题的关键．