如图.抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于A.B两点.与y轴相交于点C.且点B与点C的坐标分别为B.点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式,(2)点P为线段MB上一个动点.过点P作PD⊥x轴于点D．若OD=m.△PCD的面积为S.试判断S有最大值或最小值?并说明理由,(3)在MB上是否存在点P.使△PCD为直角三角形?如果存在.请直接写出点P的坐标,如果不存在.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．
（1）求二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD=m，△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？并说明理由；
（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

分析（1）把B点和C点坐标代入y=-x²+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）把（1）中的一般式配成顶点式可得到M（1，4），设直线BM的解析式为y=kx+n，再利用待定系数法求出直线BM的解析式，则P（m，-2m+6）（1≤m＜3），于是根据三角形面积公式得到S=-m²+3m，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）讨论：∠PDC不可能为90°；当∠DPC=90°时，易得-2m+6=3，解方程求出m即可得到此时P点坐标；当∠PCD=90°时，利用勾股定理得到和两点间的距离公式得到m²+（-2m+3）²+3²+m²=（-2m+6）²，
然后解方程求出满足条件的m的值即可得到此时P点坐标．

解答解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=-x²+2x+3；
（2）S有最大值．理由如下：
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴M（1，4），
设直线BM的解析式为y=kx+n，
把B（3，0），M（1，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+n=0}\\{k+n=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直线BM的解析式为y=-2x+6，
∵OD=m，
∴P（m，-2m+6）（1≤m＜3），
∴S=$\frac{1}{2}$•m•（-2m+6）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵1≤m＜3，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，S有最大值，最大值为$\frac{9}{4}$；
（3）存在．
∠PDC不可能为90°；
当∠DPC=90°时，则PD=OC=3，即-2m+6=3，解得m=$\frac{3}{2}$，此时P点坐标为（$\frac{3}{2}$，3），
当∠PCD=90°时，则PC²+CD²=PD²，即m²+（-2m+3）²+3²+m²=（-2m+6）²，
整理得m²+6m-9=0，解得m₁=-3-3$\sqrt{2}$（舍去），m₂=-3+3$\sqrt{2}$，
当m=-3+3$\sqrt{2}$时，y=-2m+6=6-6$\sqrt{2}$+6=12-6$\sqrt{2}$，此时P点坐标为（-3+3$\sqrt{2}$，12-6$\sqrt{2}$），
综上所述，当P点坐标为（$\frac{3}{2}$，3）或（-3+3$\sqrt{2}$，12-6$\sqrt{2}$）时，△PCD为直角三角形．

点评本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式和三角形面积公式；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

	A．	等腰直角三角形		B．	等边三角形
	C．	含30°的直角三角形		D．	顶角为45°的等腰三角形

	A．	若AB⊥BC，则?ABCD是菱形		B．	若AC⊥BD，则?ABCD是正方形
	C．	若AC=BD，则?ABCD是矩形		D．	若AB=AD，则?ABCD是正方形

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