Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为_____．

Answer 1

【答案】4

【解析】

连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′＝∠B′CD′＝90°、AB＝CD＝5、BC＝B′C＝4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE＝OD＝OC＝2.5，继而求得CG＝B′E＝OH＝=2，根据垂径定理可得CF的长.

连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，

A′B′与⊙O相切，则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，

∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，

∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝5、BC＝B′C＝4，

∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝2.5，

∴B′H＝OE＝2.5，

∴CH＝B′C﹣B′H＝1.5，

∴CG＝B′E＝OH＝=2，

∵四边形EB′CG是矩形，

∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，

∴CF＝2CG＝4，

故答案为：4.