Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：

①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；

②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；

③作AP射线，交边CD于点Q．

若QC＝1，BC＝3，则平行四边形ABCD周长为_____

Answer 1

【答案】14

【解析】

根据角平分线的性质可知∠DAQ＝∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC＝AD＝3，∠BAQ＝∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ＝AD，进而可得出平行四边形ABCD周长．

解：如图：

∵由作图可知，AQ是∠DAB的平分线，

∴∠DAQ＝∠BAQ．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，BC＝AD＝3，∠BAQ＝∠DQA，

∴∠DAQ＝∠DQA，

∴△AQD是等腰三角形，

∴DQ＝AD＝3．

∵QC＝1，

∴CD＝DQ+CQ＝3+1＝4，

∴平行四边形ABCD周长＝2（DC+AD）＝2×（4+3）＝14．

故答案为：14．