Question

2．如图1，正方形ABCD的边长为8，⊙O经过点C和点D，且与AB相切于点E．
（1）求⊙O的半径；
（2）如图2，平移⊙O，使点O落在BD上，⊙O经过点D，BC与⊙O交于M，N，求MN²的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，设半径为x．构建方程即可解决问题．
（2）如图2中，作OP⊥BC于P，连接ON，则OD=ON=5，在Rt△OPN中，求出PN²即可解决问题．

解答 解：（1）连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，设半径为x．

∵AB切○O于E，
∴EF⊥AB，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，
∴∠OFD=90°，
在Rt△DOF中，∵∠OFD=90°，OF²+DF²=OD²，
∴x²=（8-x）²+4²，
∴x=5，
∴⊙O的半径为5．

（2）如图2中，作OP⊥BC于P，连接ON，则OD=ON=5，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BD=8$\sqrt{2}$，OB=BD-OD=8$\sqrt{2}$-5，OP=$\frac{8\sqrt{2}-5}{\sqrt{2}}$=8-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴PN²=ON²-OP²=5²-（8-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）²=40$\sqrt{2}$-51.5，
∵MN=2PN，
∴MN²=4PN²=4（40$\sqrt{2}$-51.5）=160$\sqrt{2}$-206．

点评 本题考查切线的性质、正方形的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．