Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=2cm，点C在圆上，且∠BAC=30°，∠ABD=120°，CD⊥BD于D．
（1）求BD的长；
（2）求证：CD是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角，再结合已知条件可以发现两个30度的直角三角形，再进一步根据锐角三角函数的概念进行求解；
（2）连接OC，由∠BOC=2∠BAC=60°，得到∠AOC的度数为120°，又由∠ABD=120°，求出OC∥BD，根据平行线的性质，证得CD与OC垂直，即可得出CD为圆O的切线，得证．

解答：（1）解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠CAB=30°，
∴BC=

1

2

AB=1cm，∠CBD=∠ABD-∠ABC=60°．
∵CD⊥BD，
∴∠BCD=30°，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

cm．

（2）证明：连接OC，
∵∠BOC=2∠BAC=60°，
∴∠AOC=120°=∠ABD．
∴OC∥BD．
∵CD⊥BD，
∴OC⊥CD．
∴CD是圆的切线．

点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论、30°角的直角三角形的性质．注意：在圆中构造直径所对的圆周角是常见的辅助线之一．