Question

如图，直线AB与坐标轴交于A（1，0）、B（0，2）两点，过A，B两点的抛物线与x轴的另一交点为（3，0），P为抛物线上的一动点，当∠PBA=45°时，P点的坐标为

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：先求出二次函数的解析式，然后过点B作BC⊥BP，交x轴于点C，延长BP交x轴于点D，可得∠CBA=45°，设点C坐标为（a，0），利用面积公式求出a值，然后得出点C坐标，根据BC⊥BD，BO⊥CD，可得△BCO∽DCB，进而得出

BC

CO

=

CD

BC

，求出点D的坐标，然后求出直线BD的解析式，与二次函数解析式联立求出点P的坐标．

解答：解：设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
则

a+b+c=0 c=2 9a+3b+c=0

，
解得：

a= 2 3 b=- 8 3 c=2

，
二次函数的解析式为：y=

2

3

x²-

8

3

x+2，
过点B作BC⊥BP，交x轴于点C，延长BP交x轴于点D，
则有∠CBA=45°，
设点C坐标为（a，0）（a＜0），
∵S_△ABC=

1

2

BC•ABsin∠ABC=

1

2

AC•BO，
∴

1

2

a2+4

•

5

•

2

2

=

1

2

（1-a）•2，
整理得：3a²-16a-12=0，
解得：a=-

2

3

或a=6（不合题意，舍去），
∴点C（-

2

3

，0），
∵BC⊥BD，BO⊥CD，
∴△BCO∽DCB，
则有

BC

CO

=

CD

BC

，
即BC²=CO•CD，
∴

40

9

=

2

3

（

2

3

+OD），
解得：OD=6，
即点D（6，0），
∵B（0，2），
∴设直线BD的解析式为y=kx+m，
代入得：

m=2 6k+m=0

，
解得：

k=- 1 3 m=2

，
∴直线BD的解析式为y=-

1

3

x+2，
与二次函数的解析式联立得：

y=- 1 3 x+2 y= 2 3 x2- 8 3 x+2

，
解得：

x1=0 y1=2

，

x2= 7 2 y2= 5 6

，
即点P的坐标为（

7

2

，

5

6

）．
故答案为：（

7

2

，

5

6

）．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，涉及到待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质等知识点，涉及考点众多，综合性较强，计算量大，有一定的难度．