Question

14．如图1，点P是以r为半径的圆O外一点，点P′在线段OP上，若满足OP•OP′=r²，则称点P′是点P关于圆O的反演点．如图2，在Rt△ABO中，∠B=90°，AB=2，BO=4，圆O的半径为2，如果点A′、B′分别是点A、B关于圆O的反演点，那么A′B′的长是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 先证明△AOB∽△B′OA′，然后根据相似三角形的对应角相等可以推知∠OA′B′=∠OBA=90°，根据勾股定理即可求得．

解答 解：∵A′、B′分别是点A、B关于圆O的反演点，
∴$\frac{OA}{OB′}$=$\frac{OB}{OA′}$，
又∵∠O=∠O，
∴△AOB∽△B′OA′，
∴∠OA′B′=∠OBA=90°，
∵AB=2，BO=4，圆O的半径为2，
∴OA=2$\sqrt{5}$，
∴OA′=$\frac{{r}^{2}}{OA}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，OB′=$\frac{{r}^{2}}{OB}$=1，
∴A′B′=$\sqrt{{OB′}^{2}{-OA′}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了圆的综合题．解题时涉及到的知识点有：相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等式的性质等．