Question

11．如图，AB，AD为⊙O的切线，切点分别为B，D，DE为⊙O的直径，连接BE，OA
（1）求证：BE∥OA；
（2）若AD=DE，求sin∠DAB的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证Rt△ABO≌Rt△ADO，则∠AOD=∠AOB，又∠DOB是等腰△OBE的外角，则∠DOB=2∠EBO，由此可证得∠EBO=∠AOB，内错角相等，则BE∥OA；
（2）由已知求得∠OAD的正余弦三角函数值，根据倍角正弦公式即可求得结论．

解答 （1）证明：连接OB，
∵AB，AD为⊙O的切线，
∴∠ABO=∠ADO=90°．
∵OD=OB，
在Rt△ABO和Rt△ADO中
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA}\\{OB=OD}\end{array}\right.$
∴Rt△ABO≌Rt△ADO，
∴∠AOD=∠AOB，
又∵OE=OB，
∴∠E=∠EBO，
∵∠E=$\frac{1}{2}$∠BOD=∠AOB，
∴∠EBO=∠AOB，
∴BE∥OA；

（2）∵AD=DE，
∴AD=2OD，
∴sin∠DAO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠DAO=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠DAB=sin2∠DAO=2sin∠DAOcos∠DAO=2×$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4}{5}$．

点评 此题主要考查了切线的性质、平行线的判定、全等三角形的判定和性质，正余弦函数，倍角公式等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．