Question

10．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=4，P是BC边上的动点（不与B，C重合），点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是2$\sqrt{6}$≤MN＜4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接AM、AN、AP，过点A作AD⊥MN于点D，由对称性可知AM=AP=AN、△MAN等腰直角三角形，进而即可得出MN=$\sqrt{2}$AP，再根据AP的取值范围即可得出线段MN长的取值范围．

解答 解：连接AM、AN、AP，过点A作AD⊥MN于点D，如图所示．
∵点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，
∴AM=AP=AN，∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC，
∴△MAN等腰直角三角形，
∴∠AMD=45°，
∴AD=MD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AM，MN=$\sqrt{2}$AM．
∵AB=4，∠B=60°，
∴2$\sqrt{3}$≤AP≤4，
∵AM=AP，
∴2$\sqrt{6}$≤MN≤4$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{6}$≤MN＜4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是证得△AMN是等腰直角三角形．