Question

2．如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，DE是⊙O的切线，连结OD，OE
（1）求证：∠DEA=90°；
（2）若BC=4，写出求△OEC的面积的思路．

Answer 1

分析 （1）连接OD，求出∠A=∠ODB，推出OD∥AC，即可得出答案；
（2）求出AD、CD，由Rt△AED中，∠A=30°，AD的长，得ED，AE进而求得EC由DE，AE的长得△DEC的面积由 OD∥AC，△DEC的面积和△OEC的面积相等，即可得出△OEC的面积．

解答 （1）证明：连结OD，

∵△ABC 是等腰三角形，
∴CA=CB，
∴∠A=∠B，
又∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴AC⊥DE，
∴∠DE A=90°；

（2）解：连结CD，
由BC是直径，得∠CDB=∠CDA=90°，

∵由 Rt△CDA中，BC=AC=4，∠A=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=2，AD=$\sqrt{3}$CD=2$\sqrt{3}$，
∵由Rt△AED中，∠A=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{3}$，AE=$\sqrt{3}$DE=3，
EC=AC-AE=1，
∴△EDC的面积=$\frac{1}{2}×DE×EC$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵OD∥AC，
∴△DEC的面积和△OEC的面积相等，
∴△OEC的面积是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，解直角三角形，平行线的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．