Question

已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：

（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；
（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等腰三角形性质求出即可；
（2）①AP=AQ，求出即可；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，即可求出答案；③AQ=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，利用相似与勾股定理，即可求出答案；
（3）分为三种情况，①∠PQE=90°，②∠PEQ=90°，③∠EPQ=90°，根据勾股定理得出方程，求出方程的解，看看是否满足小于10即可．
解答：解：（1）当D在AC上时，
∵DE=DF，
∴EC=CF=EF=5，
∴t=5．

（2）存在．
∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
AQ=8-t，当0≤t＜5时，
①AP=AQ，
t=8-t，
∴t=4；
②AP=PQ，
作PH⊥AC于H，
AH=HQ=AQ=4-t，
∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴t=；
③AQ=PQ，
作QI⊥AB于I，
AI=PI=AP=t（等腰三角形的性质三线合一），
∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AIQ∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴t=，
④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，
同理可求出，
FC=QC=10-t，BP=10-t，
PH=（10-t）=8-t，
BH=（10-t）=6-t，
QG=QC-GC=QC-PH=10-t-（8-t）=2-，
PG=HC=6-（6-t）=t，
PQ=AQ=8-（10-t）=t-2，
∴PQ ²=PG ²+QG ²，
（t-2）²=（t） ²+（2-） ²，
解得：t=秒，
其它情况不符合要求，
综合上述：当t等于4秒、秒、秒、秒时△APQ是等腰三角形．

（3）由勾股定理：CE=CQ=t，
∵sinA===，cosA===，
∴PW=t，AW=t，
∴QW=8-t-t=8-t，
∴PQ²=PM²+QW²=（t）²+（8-t）²=t²-t+64，
PE²=PH²+EH²=（t+8-t）²+（t-t）²=t²-t+64，
①∠PQE=90°，
在Rt△PEQ中
PQ²+QE²=PE²，
∴t1=0（舍去） t₂=；
②∠PEQ=90°，
PE²+EQ²=PQ²
t₁=0（舍去） t₂=20（舍去）
∴此时不存在；
③当∠EPQ=90°时
PQ²+PE²=EQ²，
t₁=（舍去） t₂=4，
综合上述：当t=或t=4时，△PQE是直角三角形．
点评：本题综合运用了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，此题难度较大，综合性强，用的数学思想是分类讨论思想．